Diskrete Mathematik: Geordnete Mengen by Bernhard Ganter

By Bernhard Ganter

Die Ordnungstheorie ist ein faszinierendes Teilgebiet der Diskreten Mathematik, das praktischen Nutzen und abstrakte mathematische Theorie, anschauliche Überlegungen und schwierige Forschungsprobleme auf manchmal verblüffende artwork miteinander verbindet.

Das Buch gibt eine motivierende Einführung in Grundbegriffe und moderne Strömungen der mathematischen Theorie geordneter Mengen, wobei der Autor sich auf besonders interessante Themen konzentriert.

Da die Ordnungstheorie einfach und anspruchsvoll zugleich ist, abstrakt und angewandt, anschaulich und unvorstellbar, ist sie gerade für Studenten in der zweiten Hälfte des Bachelorstudiums und zu Beginn des Masterstudiums bestens geeignet.

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Zu jedem j ∈ I existiert j j wegen der Endlichkeit der Ai ein (Di | i ∈ I) ∈ K mit Dj ⊆ Bj für alle (Bi | i ∈ I) ∈ K. j Um (Dj | j ∈ I) ∈ B nachzuweisen, werde ein beliebiges E ∈ E betrachtet. Da K eine j Kette ist, gibt es ein k ∈ E mit (Dik | i ∈ I) ≤ (Di | i ∈ I) für alle j ∈ E. Wegen j (Dik | i ∈ I) ∈ B existiert ein F ∈ E mit E ⊆ F und fF (i) ∈ Dik ⊆ Di ( j ∈ E) für alle i ∈ E, j j d. h. insbesondere fF ( j) ∈ Dj für alle j ∈ E, womit (Dj | j ∈ I) ∈ B gezeigt ist. K hat also eine untere Schranke in (B , ≤).

Ketten in solchen Systemen sind dann Mengen von Mengen, die paarweise bzgl. ⊆ vergleichbar sind. Maximale Elemente sind Mengen, die Elemente von A sind, die aber in keiner anderen Menge aus A echt enthalten sind. Satz 4 Ist A eine Menge von Mengen und ist für jede Kette K ⊆ A auch deren Vereinigung K ein Element von A, dann enthält A (mindestens) ein maximales Element. Zur Übung möge der Leser versuchen, den folgenden Satz zu beweisen: Satz 5 (Hausdorffsches Maximalkettenprinzip) Jede geordnete Menge enthält eine maximale Kette.

Jedes beliebige Paar (a, b) ∈ A aus einer Antikette A liefert also eine Zerlegung des Restes A \ {(a, b)} in zwei Teilmengen A \ {(a, b)} = {(c, d) ∈ A | c < a} ∪ {(c, d) ∈ A | d < b}. Weil N die absteigende Kettenbedingung erfüllt, müssen beide Teilmengen endlich sein. (N × N, ≤) enthält Antiketten beliebiger endlicher Mächtigkeit, aber keine unendlichen Antiketten. Die Weite ist abzählbar (denn sie ist ja definiert als das Supremum der Mächtigkeiten von Antiketten). Besonders interessant am vorhergehenden Hilfssatz ist, dass man (N, ≤) durch eine beliebige wohlgeordnete Menge ersetzen kann, also beispielsweise durch beliebige Ordinalzahlen α.

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